Gnam!!!

Ecco come un matematico vede un dolce...come un toro!

Libro del giorno: immagini della matematica.

Spesso si dice che la matematica è una disciplina arida e confinata nel suo rigore metodologico. Affermazioni del genere fanno ovviamente storcere il naso ai matematici, che vi risponderanno con numerosi esempi per affermare che la loro disciplina è piena zeppa di bellezza e armonia. Alcuni la paragonano alla musica, altri parlano di "strutture matematiche", tutti paragoni che ai non addetti ai lavori risultano incomprensibili.
Questo produce distacco e, in molti casi, frustrazione, in particolare negli studenti che provano ad approcciarsi alla matematica.
Un notevole aiuto per la comprensione della nostra disciplina e per poter capire quanto sia vicina al concetto di "bellezza" viene dalla computer graphics: negli ultimi anni matematica e computer graphics si sono sviluppate fino al punto tale che l'una non può dirsi completa senza l'altra. E le immagini che vengono fuori, dopo aver prodotto un nuovo algoritmo, sono spettacolari; in certi casi trovano applicazione nel cinema come è accaduto per gli "Helicoradian" di Avatar.

Il libro prova a dare risposta a domande quali "che aspetto ha una curva che riempie l'intero piano o tutto lo spazio?", "si può muovere un poliedro flessibile fino a scambiarne interno ed esterno?", "che cosa sono il piano proiettivo o lo spazio quadridimensionale?", "esistono bolle di sapone non sferiche?", "come si può capire la complicata struttura dei vortici e delle correnti?" In questo libro, il lettore potrà fare esperienze di matematica soprattutto dal punto di vista visivo, confrontandosi con immagini affascinanti, molte delle quali pubblicate per la prima volta, che forniscono risposte illustrate alle domande poste qui sopra. Ogni immagine è accompagnata da una breve spiegazione, da molti riferimenti bibliografici e da moltissime indicazioni di letture in rete. Il volume è diretto a tutti gli amici della matematica - studenti, insegnanti, appassionati e matematici di professione che non vogliano sfogliare soltanto un testo arido o un elenco infinito di formule. I lettori impareranno così a conoscere la matematica da un punto di vista nuovo e colorato.

"Immagini della matematica"

Di Georg Glaeser e Konrad Polthier

Raffaello Cortina Editore

Costo: 36 euro

La matematica del mescolamento delle carte.

Spesso si dice che mescolando un mazzo di 52 carte, la nuova disposizione che si ottiene non è mai esistita prima e mai esisterà di nuovo nella storia. Perchè? La risposta è che si hanno ben 52 carte, e per poter capire inizieremo con un semplice esempio.

Nella figura sottostante possiamo vedere il numero di disposizioni possibili che si possono ottenere con solo tre oggetti che indichiamo con le lettere A, B e C. Le disposizioni possibili sono ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. Si può notare che per la prima posizione è possibile fare tre scelte (scegli A, oppure B, o ancora C). Una volta fatta la prima scelta, restano due scelte da fare  e che dipendono dalla prima scelta fatta. Infine, fatta la seconda scelta, resta solo l'ultima da fare che dipende dalle due scelte precedenti. Questo si traduce matematicamente nel seguente numero di possibili disposizioni:

Con questo ragionamento, possiamo calcolare il numero possibile di disposizioni di 52 carte:

che ci fornisce come risultato il gran bel numero di

possibili disposizioni. Cioè il numero 8 seguito da ben 67 cifre...

Un semplice metodo per calcolare la radice quadrata di un numero.

Esistono diversi metodi per calcolare la radice quadrata di un numero, uno su tutti è il metodo di Newton che trova ampio utilizzo nelle librerie del linguaggio C.
Qui ho invece voglia di esporre uno tra i più semplici, a mio avviso, di questi metodi.
Supponiamo di voler calcolare 
Osserviamo che la calcolatrice dà come risultato
Bene, allora vediamo in che cosa consiste questo metodo.
Sappiamo che  è compresa tra  e , in particolare è più vicina a . Allora, prendiamo come prima stima la base 5 e dividiamo 24 con la prima stima fatta:

a questo punto, calcoliamo la media tra 4.8 e 5

prendiamo quindi 4.9 come seconda stima della . Potremmo anche fermarci qui, andare avanti o meno dipende dall'esercizio o dalla nostra curiosità.
Se vogliamo calcolare la terza stima, dobbiamo ripetere la procedura vista sopra: dividiamo 24 per 4.9

calcoliamo adesso la nuova media:

Pertanto, 4.899 è la terza stima di , con quattro cifre significative.
Andiamo avanti con la quarta stima:



con otto cifre significative.
Osserviamo che, ripetendo sempre più il procedimento, si arriva a una stima di  abbastanza accurata.

Buon 2013!

Buon 2013 a tutti! :)

2013 non è semplicemente il numero del nuovo anno che stiamo vivendo, ma è anche:

1. un numero dispari
2. un numero "deficiente", vale a dire che si tratta di un numero per il quale la somma dei suoi fattori è inferiore al numero stesso
3. Ha come rappresentazione binaria il numero 111110011101
4. ed è un numero "odioso", cioè un numero che, se sviluppato in forma binaria, ha una quantità dispari di cifre 1

Oddio, magari sarebbe meglio sapere che il 2013 sarà un anno "meraviglioso" e pieno di tante buone notizie! Ma noi qui siamo interessati alle proprietà di questo e di tanti altri numeri, e internet pullula di siti utili (toh, guarda un pò?) per curiosare su di loro, un pò come un etologo che studia i criceti!

Quindi, ecco a voi una lista di siti utili per lo scopo.

• Number Gossip: inserisci un numero e il sito ti elencherà le sue proprietà!
• Wikipedia List: una lista di numeri interi e loro proprietà. Efficiente e semplice nella comprensione.
• Wolfram Alpha: un potente motore di ricerca che elenca le proprietà dei numeri interi, ne fa una rappresentazione sulla retta dei numeri Reali e sviluppa un'ampia varietà di calcoli.
• What's special about this number?: pagina web con un elenco di numeri interi compreso tra zero e 9999.
• Positive integers: un sito con informazioni sui numeri compresi tra 1 e 1 milione. Il sito mostra anche se un dato numero è numero primo oppure no.

Buona ricerca del vostro numero preferito!

Curiosity è su Marte!

Intorno alle sette di questo caldo lunedì terrestre, il rover della Nasa "Curiosity" è atterrato su Marte!

Una nuova sfida tecnologica e scientifica, iniziata nel migliore dei modi: il rover è atterrato esattamente nel cratere Gale, dove si pensa che ci sia un'elevata probabilità di poter trovare tracce di vita fossile. 

Nei prossimi mesi avremo nuove foto dal pianeta rosso inviate dalla sonda. Per ora, gustiamoci questa immagine scattata dall'alto di Marte e che riprende la sonda sorretta dal paracadute prima che tocchi il suolo in quei "sette minuti di terrore" all'interno dei quali non c'era nessuna comunicazione tra il JPL e il rover: magnifico!

L'aritmetica dell'orologio.

Il quadrante di un orologio analogico si presta a un'aritmetica del tutto nuova. E' sufficiente partire da queste semplici osservazioni:

1) cosa succede se aggiungo 3 a 8:00?

2) cosa succede se aggiungo 2 a 10:00?

3) cosa succede se aggiungo 4 a 11:00?

La risposta alle prime due domande è semplice; nel primo caso, si passa dalle 8:00 alle 11:00, mentre nel secondo caso si passa dalle 10:00 alle 12:00.

La risposta al terzo caso, invece, è più interessante per i nostri scopi. In un tipico orologio analogico, aggiungere 4 alle 11:00 vuol dire che si è passati alle 3:00, cioè 15:00 meno 12:00: il 12:00 "azzera" il conteggio, riportando il risultato al punto di partenza (cioè, lo zero).

Per meglio comprendere il concetto, diamo un'occhiata alla tabella sottostante. La tabella rappresenta le somme tra le ore presenti sulla prima riga orizzontale e quelle presenti nella prima colonna verticale. Quindi, per esempio, basta andare sull'ora "2" e sommare "3" per ottenere le "5". Il 12 si comporta come lo zero: qualunque numero sommato a 12 sarà sempre uguale a quel numero. Quindi, 12 + 5=0+5=5. 

Per di più, nella nostra aritmetica dell'orologio, se la somma di due numeri è maggiore di 12, si dovrà fare una sottrazione per ottenere l'ora effettiva. Per esempio, abbiamo visto che 11+4=15, ma 15-12=3.

Bene, quindi adesso saremmo in grado di sommare tutte le ore che ci interessano. Ho usato il condizionale, però, perchè c'è un'ulteriore difficoltà da superare in questa strana aritmetica: addizionare i numeri che non sono presenti in questa tabella. Effettivamente non è molto difficile. Per esempio, potremmo sommare 23 + 45; il risultato è 68, un numero che non c'è nella tabella. A che ora corrisponde? Un'idea sarebbe quella di sottrarre 12 tante volte fino ad ottenere un numero più piccolo di 12. Così facendo otteniamo:

68-12= 56

56-12=44

44-12=32

32-12=20

20-12=8

Tuttavia, una sottrazione ripetuta equivale a una divisione. Dividiamo 68 per 12, e prendiamo il resto. 68:12=5 con resto 8, ed è proprio l'ora che cercavamo.

Quest'ultima operazione ci dà un'informazione importante: 8 ha diversi numeri "equivalenti". E' un pò come se la lancetta delle ore passasse sul numero 8 tante volte, quante volte abbiamo sottratto 68 per 12: ogni passaggio della lancetta sarà uno dei seguenti numeri:

8 (primo passaggio lancetta delle ore)

8+12=20 (secondo passaggio lancetta delle ore)

8+2(12)=32 (terzo passaggio lancetta delle ore)

8+3(12)=44 (quarto passaggio lancetta delle ore)

8+4(12)=56 (quinto passaggio lancetta delle ore)

8+5(12)=68 (sesto passaggio lancetta delle ore)

Possiamo pertanto affermare che tutti i numeri della forma 8+k12, con k numero intero positivo, sono numeri equivalenti all'8.

Questo particolare sistema numerico prende il nome di "aritmetica modulare". Si tratta di un metodo di calcolo nel quale i numeri sembrano "avvolgersi" attorno a un particolare valore, detto "modulo", o comunque ogni volta che raggiungono un multiplo del modulo. Nel caso dell'orologio, il modulo sarà il numero 12. Dobbiamo a Gauss la formalizzazione di tale aritmetica, nel suo più famoso libro "Disquisitiones Arithmeticae" del 1801.