L'aritmetica dell'orologio.

Il quadrante di un orologio analogico si presta a un'aritmetica del tutto nuova. E' sufficiente partire da queste semplici osservazioni:

1) cosa succede se aggiungo 3 a 8:00?

2) cosa succede se aggiungo 2 a 10:00?

3) cosa succede se aggiungo 4 a 11:00?

La risposta alle prime due domande è semplice; nel primo caso, si passa dalle 8:00 alle 11:00, mentre nel secondo caso si passa dalle 10:00 alle 12:00.

La risposta al terzo caso, invece, è più interessante per i nostri scopi. In un tipico orologio analogico, aggiungere 4 alle 11:00 vuol dire che si è passati alle 3:00, cioè 15:00 meno 12:00: il 12:00 "azzera" il conteggio, riportando il risultato al punto di partenza (cioè, lo zero).

Per meglio comprendere il concetto, diamo un'occhiata alla tabella sottostante. La tabella rappresenta le somme tra le ore presenti sulla prima riga orizzontale e quelle presenti nella prima colonna verticale. Quindi, per esempio, basta andare sull'ora "2" e sommare "3" per ottenere le "5". Il 12 si comporta come lo zero: qualunque numero sommato a 12 sarà sempre uguale a quel numero. Quindi, 12 + 5=0+5=5. 

Per di più, nella nostra aritmetica dell'orologio, se la somma di due numeri è maggiore di 12, si dovrà fare una sottrazione per ottenere l'ora effettiva. Per esempio, abbiamo visto che 11+4=15, ma 15-12=3.

Bene, quindi adesso saremmo in grado di sommare tutte le ore che ci interessano. Ho usato il condizionale, però, perchè c'è un'ulteriore difficoltà da superare in questa strana aritmetica: addizionare i numeri che non sono presenti in questa tabella. Effettivamente non è molto difficile. Per esempio, potremmo sommare 23 + 45; il risultato è 68, un numero che non c'è nella tabella. A che ora corrisponde? Un'idea sarebbe quella di sottrarre 12 tante volte fino ad ottenere un numero più piccolo di 12. Così facendo otteniamo:

68-12= 56

56-12=44

44-12=32

32-12=20

20-12=8

Tuttavia, una sottrazione ripetuta equivale a una divisione. Dividiamo 68 per 12, e prendiamo il resto. 68:12=5 con resto 8, ed è proprio l'ora che cercavamo.

Quest'ultima operazione ci dà un'informazione importante: 8 ha diversi numeri "equivalenti". E' un pò come se la lancetta delle ore passasse sul numero 8 tante volte, quante volte abbiamo sottratto 68 per 12: ogni passaggio della lancetta sarà uno dei seguenti numeri:

8 (primo passaggio lancetta delle ore)

8+12=20 (secondo passaggio lancetta delle ore)

8+2(12)=32 (terzo passaggio lancetta delle ore)

8+3(12)=44 (quarto passaggio lancetta delle ore)

8+4(12)=56 (quinto passaggio lancetta delle ore)

8+5(12)=68 (sesto passaggio lancetta delle ore)

Possiamo pertanto affermare che tutti i numeri della forma 8+k12, con k numero intero positivo, sono numeri equivalenti all'8.

Questo particolare sistema numerico prende il nome di "aritmetica modulare". Si tratta di un metodo di calcolo nel quale i numeri sembrano "avvolgersi" attorno a un particolare valore, detto "modulo", o comunque ogni volta che raggiungono un multiplo del modulo. Nel caso dell'orologio, il modulo sarà il numero 12. Dobbiamo a Gauss la formalizzazione di tale aritmetica, nel suo più famoso libro "Disquisitiones Arithmeticae" del 1801.