Eccovi le prove Invalsi!

Io adoro questi alunni! :)

Divisibilità per 5 e per 10

Oggi tratteremo insieme la divisibilità per 5 e per 10, in quanto possiedono molte caratteristiche in comune.

Partendo da 10 e aggiungendo 10 otteniamo

20, 30, 40, 50....

tutte cifre che terminano per 0, proprio come il 10.
E' noto che tutti i multipli di 10 terminano per 0; dunque, un numero è divisibile per 10 se la cifra delle unità è uguale a zero.

Viceversa, partendo da 5 e aggiungendo 5 ogni volta, otteniamo

10,15,20,25,30...

e via di seguito. Ora, se aggiungiamo 5 a un numero la cui prima cifra decimale è 5, otteniamo 10, che termina per 0; invece, se aggiungiamo 5 a un numero che termina per 0, otteniamo sempre 5. Quindi, un numero è divisibile per 5 se l'ultima cifra è pari a 5 o a 0, e da ciò si comprende anche che tutti i numeri divisibili per 10 sono anche divisibili per 5.

Divisibilità per quattro

Nel precedente post ho discusso la divisibilità per due. Oggi voglio discutere della divisibilità per 4.
Quando un numero è divisibile per quattro?
Sappiamo che 100 è divisibile per 4; il risultato è 25 (4 X 25 = 100). Ma anche 200 è divisibile per 4, e anche 300, e così via con tutti i multipli di 100....
Questo significa che anche 1000 (cioè, 10^2), 10000 (cioè 10^3), 100000, e via di seguito, sono tutti numeri divisibili per 4.
Quindi, possiamo affermare in prima approssimazione che 10^n è un numero divisibile per 4, con n numero intero maggiore di uno.
Questo è molto importante, perchè ci consente di passare al passo successivo: capire quando un numero qualsiasi è divisibile per 4.

Primo esempio: 324
324=300+24
Dal discorso fatto sopra si evince che 300 è divisibile per 4; resta da stabilire se anche 24 lo è, e non ci vuole molto a confermare che anche 24 è un numero divisibile per 4. Pertanto, 324 è un numero divisibile per quattro.

Secondo esempio: 459
459=400+59
400 è divisibile per 4, ma 59 non lo è, pertanto 459 non è divisibile per 4.

Terzo esempio: 1427
1427=1000+400+27
1000 è divisibile per 4; 400 è anch'esso divisibile per 4. 27 non lo è. Pertanto, 1427 non è divisibile per 4.

Quarto esempio: 1328
1328=1000+300+28
1000 e 300 sono divisibili per 4. Anche le ultime due cifre sono divisibili per 4. Pertanto, 1328 è un numero divisibile per 4.

Da questi quattro esempi si osserva che, affinchè un numero sia divisibile per 4, è necessario e sufficiente che le ultime due cifre siano divisibili per 4, indipendentemente dall'estensione del numero. Per dimostrarlo, dobbiamo tornare al sistema di numerazione posizionale con il quale noi rappresentiamo un numero.

Qualsiasi numero si può esprimere nel seguente modo:

dall'osservazione fatta a inizio post, sappiamo che tutti i numeri a sinistra del termine

sono divisibili per 4. Dunque, per stabilire se un numero è divisibile per quattro bisogna controllare solo le ultime due cifre, quelle delle potenze uguali o inferiori a uno.

Divisibilità per due.

Come riusciamo a sapere se un numero è divisibile per un altro numero?
E per "numero" intendiamo un numero intero...
Partiamo dal due. Vogliamo sapere com'è possibile che un numero sia divisibile per due.
Sappiamo una cosa...la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione. Quindi, potremmo facilitare la questione analizzando i prodotti per due.
E dato che ci siamo, possiamo partire dallo zero...vediamo cosa succede:

0X2=0

1X2=2

2X2=4

3X2=6

4X2=8

5X2=10

6X2=12

7X2=14

8X2=16

9X2=18

ora...non ci vuole molto, ma un occhio attento noterà un piccolo particolare...i primi cinque prodotti danno come risultato una cifra pari, ad esclusione dello zero che non è nè pari nè dispari. Comunque, partendo dallo zero, si presentano solo risultati pari.

Nei successivi cinque prodotti (a partire dal prodotto 5X2), i risultati sono sempre pari, presentano due cifre...ma ciò che stupisce è che la cifra delle unità ripete il pattern presentatosi nel primo gruppo di prodotti! La sequenza è:

0, 2, 4, 6, 8

siccome il nostro pappagallo è curioso quanto un matematico, decidiamo di continuare i prodotti...vediamo cosa succede!

10X2=20

11X2=22

12X2=24

13X2=26

14X2=28

15X2=30

beh...è incredibile! Il pattern si ripete indefinitamente! Abbiamo ottenuto uno schema dal quale possiamo dedurre delle informazioni importanti...vediamo.

Tutto quel che abbiamo fatto è ripetere delle moltiplicazioni per due. Ciò che cercavamo però era capire se un numero è divisibile per due. Ci siamo accorti che moltiplicando per due qualunque numero, si ottiene un numero pari, con un pattern di cifre pari che si ripetono regolarmente. 

Allora, possiamo concludere affermando che un numero è divisibile per due se e solo se è un numero pari, o se la cifra delle unità di tale numero risulta essere pari.