Quadrato di un binomio (di carta!)

Uno degli argomenti più ostici per gli studenti di scuole medie inferiori e superiori è il quadrato del binomio.
Con questo termine intendiamo il quadrato della somma (o differenza) di due monomi, il cui risultato è:

• (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2
• (A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2

Ora, se lo studente ha una buona memoria, quando si troverà di fronte a un esercizio del genere potrà farsi forza sulla regola che dice:"quadrato del primo termine, più il quadrato del secondo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il secondo termine".
Tuttavia, buona parte degli studenti ha difficoltà nell'applicarla correttamente. Spesso accade che si dimenticano del doppio prodotto, oppure che possano confondere l'elevamento a potenza con un prodotto di A (o di B) per due. Oppure ancora, che confondano i segni.
Nei libri di testo di matematica viene riportata, per facilitare la comprensione, l'immagine di un quadrato rappresentante la dimostrazione dell'identità suddetta:

Purtroppo, non tutti gli studenti sono abituati a leggere un libro di matematica, forse perchè si pensa che per capire questa materia si deve essere bravi solo a fare di conto...ma la matematica si può anche costruire con le mani, e questo può rendere la sua comprensione più divertente!

Pertanto, ho deciso di costruire la stessa immagine esplicativa del quadrato del binomio con l'ausilio di materiale povero. Tutto quello che serve è riportato nell'immagine sottostante: quattro fogli cartonati colorati, dei quali due devono essere rigorosamente dello stesso colore (tra un pò sarà chiarito il perchè), un pennarello, un taglierino o una forbice, un righello e una matita.

Abbiamo da costruire due quadrati e due rettangoli. Quindi dobbiamo prendere delle misure. Possiamo scegliere la misura del lato A o del lato B. Io ho deciso di partire da un lato B = 8cm. Con questa misura, potrò ottenere un quadrato di area B^2 = 64cm^2.

La scelta fatta sul lato B implica, automaticamente, che il lato A sia il doppio di B, vale a dire A=2B=16cm. In questo modo, mi aspetto di avere un nuovo quadrato di area A^2=256cm^2.

Restano da costruire i due rettangoli di area AB. Avendo tutti e due la stessa area, sarà necessario usare due fogli cartonati dello stesso colore. Il loro lato maggiore avrà una misura A=16cm, il lato minore misurerà B=8cm.

Se non ci sono stati problemi, si dovrebbe ottenere qualcosa di questo tipo: 

Ora si può scegliere di scrivere col pennarello, su una delle due facce delle nostre figure, le misure dei lati, oppure solo le lettere corrispondenti. Io ho deciso di scrivere solo lettere, in quanto preferisco che i ragazzi si abituino al concetto di generalizzazione che sta dietro a un monomio (una lettera può, in linea di principio, assumere qualunque valore vogliamo).

Dall'altro lato si potranno scrivere le aree corrispondenti di ogni figura geometrica.

Bene. Adesso ci chiediamo: quanto vale l'area totale del quadrato formato dalle quattro figure colorate?

L'area totale è data dalla somma delle aree dei due quadrati più piccoli e dei due rettangoli, cioè:

Area Totale = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

che è appunto il risultato che si ottiene applicando la regola del quadrato del binomio:

(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2.