Le proprietà dei numeri complessi

I numeri complessi  sono numeri composti da due elementi: una parte reale, che indichiamo con la lettera "a", e una parte immaginaria, indicata con le lettere "bi":

la parte immaginaria contiene l'elemento , che ho introdotto in questo post.

Così come possiamo rappresentare i numeri reali sulla retta dei numeri reali, è possibile rappresentare i numeri complessi graficamente mediante l'uso del piano complesso, simile al piano cartesiano, ma con la sottile differenza che l'asse delle ascisse contiene la parte reale del numero complesso, e l'asse delle ordinate la parte immaginaria. Ciò che viene fuori è un vettore nel piano complesso:

Rappresentazione grafica di un numero complesso

E' interessante ricordare che il termine "immaginario" (opposto a "reale") è stato introdotto proprio da Cartesio, lo stesso che introdusse le basi della geometria analitica.

Osservando un numero complesso, ci accorgiamo immediatamente che abbiamo di fronte un binomio. Questa semplice osservazione ci fa capire che è possibile svolgere operazioni con i numeri complessi usando le stesse regole adottate nei binomi.

Per esempio, volendo sommare i seguenti numeri complessi: e  

è sufficiente sommare la parte reale del primo numero complesso con la parte reale del secondo numero complesso, e poi sommare la parte immaginaria del primo numero complesso con la parte immaginaria del secondo numero complesso:

quindi, in generale, per la somma di due numeri complessi vale la seguente regola:

Invece, se volessimo moltiplicare i due numeri complessi visti prima, basterà ricordare come si svolge il prodotto di due binomi, ricordando che :

quindi, in generale, per il prodotto di due numeri complessi vale la seguente regola: