Alcune proprietà delle equazioni.

In Matematica, ogni volta che vediamo questo simbolo

=

possiamo affermare che c'è un'uguaglianza tra due membri: quello alla sinistra del segno "=" e quello alla sua destra.
Affermare che vi sia un'uguaglianza è qualcosa di molto forte: vuol dire che i due membri sono sempre uguali in tutto e per tutto, senza alcuna discussione.
Un discorso leggermente diverso va fatto, invece, per le equazioni: in questo caso, il segno "=" non implica sempre che il membro a sinistra sia uguale a quello di destra. Equazioni come 5x+2x=7x sono sempre vere, ma ne esistono altre che possono essere vere solo a volte, come x+3=5, e altre che non sono mai vere, come 2x+x=3x+1.
Per comprendere ciò, cerchiamo di capirlo usando come analogia una bilancia.

Immaginiamo per un momento di avere una bilancia a due bracci uguali, del tipo illustrato in figura, e supponiamo che sul braccio sinistro sia presente un oggetto che pesa 5Kg. E' ovvio che per bilanciare lo strumento sarà necessario porre sull'altro braccio un oggetto dello stesso peso. Quindi, la bilancia sarà in equilibrio quando alla sua destra e alla sua sinistra abbiamo lo stesso peso, cioè

5Kg (a destra) = 5Kg (a sinistra)

Lo stesso discorso lo si ottiene per tutti i pesi. Indicando con "a" il peso a sinistra e con "b" il peso a destra, otterremo:

a=b

quella che abbiamo ottenuto è un'uguaglianza che vale sempre. In questo caso, allora, i matematici preferiscono parlare di "identità", cioè un'uguaglianza tra due espressioni letterali che è verificata sempre, qualunque valore andiamo a inserire alle nostre variabili "a" e "b".

Ora, con la bilancia posta in equilibrio mediante due pesi di 5 Kg l'uno, immaginiamo di aggiungere un peso di 3Kg sul braccio destro, rompendo l'equilibrio. Per farlo tornare sarà necessario aggiungere lo stesso peso anche sul braccio sinistro. Questo vuol dire che:

5Kg+3Kg=5Kg+3Kg

Quindi, per far tornare l'oggetto in equilibrio, bisognerà aggiungere la stessa quantità in ambodue i bracci; in generale:

a+c=b+c

dove con "c" abbiamo indicato il nuovo peso aggiunto.

Discorso analogo lo otteniamo se sottraiamo i pesi, prima a sinistra e poi a destra. Per far tornare l'oggetto in equilibrio, bisognerà sottrarre la stessa quantità in ambodue i bracci:

a-c=b-c

Possiamo pertanto affermare che "se si somma (sottrae) una certa quantità a sinistra del segno di uguaglianza di un'equazione, dobbiamo sommare (sottrarre) anche a destra la stessa quantità". Questo principio prende il nome di "primo principio di equivalenza".

Se poi moltiplichiamo i pesi a destra, saremo costretti a fare la stessa cosa anche a sinistra. Per esempio, con una bilancia in equilibrio sulla quale sono poste due masse di 5Kg per ogni braccio, moltiplicando 5Kg per 7Kg, e ponendo il risultato (35Kg) sul braccio destro, sarò costretto a fare la stessa cosa anche sul braccio sinistro.

Quindi, se moltiplico per un certo fattore da un lato del segno "=", dovrò fare la stessa cosa anche dall'altro lato, cioè:

a*c=b*c

Quest'ultima proprietà si può estendere anche alla divisione:

a/c=b/c

Possiamo pertanto affermare che "se si moltiplica (divide) una certa quantità a sinistra del segno di uguaglianza di un'equazione, dobbiamo moltiplicare (dividere) anche a destra la stessa quantità". Questo principio prende il nome di "secondo principio di equivalenza".

D'altronde, se il peso sul braccio sinistro è uguale al peso del braccio destro, cioè "a=b", è ovvio che vale anche il viceversa, cioè "b=a". Vale pertanto la "proprietà simmetrica": 

se a=b, allora b=a.

Quest'ultima proprietà, strano a dirsi, è una di quelle proprietà che difficilmente gli alunni riescono a comprendere, forse perchè indicare un'uguaglianza tra due lettere diverse mette un pò di confusione; d'altronde, questa è una proprietà molto importante, perchè una volta assimilata rende più facile lo svolgimento di numerosi esercizi successivi, primo tra tutti i sistemi da risolvere mediante il metodo di sostituzione: se devo sostituire, lo devo fare per quell'incognita che ho posto uguale a un'altra incognita. Un modo utile per far assimilare la proprietà simmetrica agli alunni consiste nel mostrargli matite colorate, presentargliele una dopo l'altra e fargli capire che, nonostante abbiano colori diversi (da cui, lettere diverse, a diverso da b...) restano sempre matite (da cui a=b).