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sabato 14 luglio 2012

Ma che bel pavimento!

Sicuramente avrete osservato che la maggior parte dei pavimenti sono coperti da mattonelle di forma quadrata o rettangolare:


Oppure, pavimenti con mattonelle di forma triangolare o esagonale:

In matematica si dice che esistono solo tre poligoni regolari che tassellano il piano, per l'appunto il triangolo, quadrato e l'esagono. Questo perchè la somma degli angoli interni ai loro vertici è uguale a 360°, cioè a un angolo giro, se preferite.


Il quadrato, il triangolo e l'esagono regolare hanno rispettivamente gli angoli pari a un quarto, un sesto e un terzo di angolo giro. Per coprire esattamente un angolo giro basta allora mettere insieme quattro, sei o tre rispettivamente; dipende dal vostro gusto estetico!
Poligoni regolari con numero di lati diverso da tre, quattro o sei non riescono a tassellare il piano, proprio perchè non è verificata la condizione suddetta:


Per esempio, il pentagono non può tassellare il piano perchè i suoi angoli sono compresi fra un quarto e un terzo di angolo giro
Per dimostrare algebricamente che esistono solo tre poligoni regolari che tassellano il piano, indichiamo con {p,q} la coppia di numeri che rispettivamente rappresentano il numero dei lati del poligono e il numero di vertici che si incontrano in un dato punto. Quindi, per esempio, per il triangolo vale la scrittura {3,6} perchè 3 è il numero dei lati del triangolo e 6 è il numero di vertici che si hanno nel punto di incontro dei sei triangoli al centro della figura.
Allora, dimostriamo che esistono solo tre tassellazioni regolari del piano: triangoli equilateri, quadrati e esagoni regolari.
Sappiamo che la somma degli angoli di un poligono è data da 


quindi, ciascun angolo interno di un poligono misura


moltiplicando questo valore per q, otteniamo 360°, vale a dire un angolo giro:


questa si può anche scrivere come:


Per risolverla, aggiungiamo +4 a destra e a sinistra dell'equazione; otteniamo


cioè


quest'ultima uguaglianza è verificata solo per le seguenti coppie di valori di p e q:

 vale a dire un quadrato
 vale a dire un esagono regolare
 vale a dire un triangolo equilatero.

E questo era ciò che volevamo dimostrare.

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